La circunferencia tangente a la astroide envolvente de la familia de elipses tiene diámetro a+b. La circunferencia tangente a la astroide envolvente de las normales tiene diámetro a-b.
El ángulo 2·arcsin((a-b)/(a+b)) entre las dos tangentes a la rodante La Hire desde un punto de la elipse delimita la oscilación de la normal a lo largo de la elipse
La oscilación máxima de la normal es la correspondiente a los extremos del latus rectum.
La normal a la elipse en un punto de esta bisecta el ángulo entre los dos radios focales.
Los extremos de los diámetros azules de la rodante que pasan por los pies de tangencia desde un punto de la elipse a la rodante pertenecen a la evoluta de la elipse, coincidiendo con los puntos de tangencia de esa evoluta con la circunferencia de radio (a−b) centrada en O.
El ángulo máximo entre el diámetro mayor de la elipse y los diámetros de la circunferencia de diámetro a-b con extremos en los pies de tangencia desde un punto de la elipse a la Hire es de 45º (ε = 0). El ángulo será de 30º cuando a = 3b.
La bisectriz del nodo de articulación del antiparalelogramo es la normal de la elipse en ese punto.
La evoluta de la elipse se puede construir como lugar de centros de curvatura (osculatrices) o como envolvente resultante de las normales.
La proporción entre ejes de evoluta de la elipse es la misma que entre a y b.
La normal oscila entre los lados del triángulo magenta (Hipotrocoide 2).
Con a = b · φ: en Rombo y directriz, eje menor del rombo = 2a, eje mayor del rombo = eje menor · φ, 2 a = latus rectum · φ
Con a = b · φ: en Rombo y directriz y osculatriz, la distancia entre cúspides superior e inferior de la astroide es el eje vertical del rombo.
Con a = b · φ: ángulo formado por las tangentes de un punto de la elipse a la Hire = ángulo áureo/5
Con a = b · φ: las cúspides de la paralela a la elipse descrita por la normal recorren la evoluta de la elipse.
Con a = b · φ: la astroide envolvente de familia de elipses es tangente a la elipse en extremos de latus rectum.
Con a = b · φ: en Hipotrocoide 2 y Osculatriz, el diámetro de la circunferencia osculatriz es la altura del triángulo magenta.
Con a = b · φ: la circunferencia osculatriz del vértice del eje mayor tiene su centro el la cúspide derecha e izquierda.
Con a = b · φ: el eje horizontal de la evoluta mide 2b y el vertical mide 2a. Los vértices de la elipse se unen con líneas a 45º con las cúspides de la astroide envolvente de las normales.
Con a = b · φ: la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos a y O-directriz (es decir, (a^2)/c) es igual a la longitud de la vara del elipsógrafo de Proclo / Arquímedes.
Con a = c · φ: ε = 1/φ, ángulo formado por las tangentes de un punto de la elipse a la Hire = ángulo áureo/10
Con a = c · φ: la circunferencia osculatriz del vértice del eje mayor tiene radio = c
Con a = c · φ: je menor del rombo = 2a, eje mayor del rombo = eje menor · φ, 2 a = latus rectum · φ
Con c = b · φ: las cúspides de la curva trazada por la normal con radio a pertenecen a la vez a la evoluta de las osculatrices y a la elipse.
Con c = 2b: ángulo formado por las tangentes de un punto de la elipse a la Hire = 45°
Con a = 3b: ángulo formado por las tangentes de un punto de la elipse a la Hire = 60°; triángulo equilátero; la elipse pasa por A y B.
Con a = b · √2, es decir, con b = c: ε = cos 45
Con a = b · √2: la osculatriz en el vértice del eje mayor tiene radio a/2
Con a = b · √2: las cúspides superior e inferior de la evoluta distan 2b entre ellas y las cúspides izquierda y derecha distan a entre ellas.
Con a = b · √2: la proporción entre los ejes de rombo es √2. Es el único caso de igualdad de proporciones entre ambas construcciones: diámetros de la elipse y rombo.
Con a = 1.5b: c = (4/3)a, c = ( a + b) / 2.
Con a = 1.5b, el eje horizontal de la astroide envolvente de las normales mide (a+b)/1.5 y el vertical mide a+b.
Con a = 2b: ε = cos 30.
Con a = 2b: el foco y los extremos de diámetro menor forma un triángulo equilátero.
Con a = 2b: el punto medio entre O y el foco y los extremos del latus rectum forman un triángulo equilátero.
Con a = 2b: coinciden en el mismo punto las cúspides superior e inferior de la astroide que es envolvente de la familia de elipses y la que es evoluta de la elipse, la separación entre cúspides izquierda y derecha en la que es envolvente de la familia de elipses es el doble de la separación entre cúspides izquierda y derecha en la evoluta de la elipse.
Con a = 2b: la osculatriz en el extremo del eje mayor tiene diámetro b.
Con a = 2b: el punto medio entre O y el foco y los extremos del latus rectum forman un triángulo equilátero.